Binomische Lehrsatz Beispiel Essay

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bi­no­misch

Wortart: ℹAdjektiv

Gebrauch:Mathematik

Häufigkeit: ℹ▮▯▯▯▯

Rechtschreibung

Worttrennung: bi|no|misch

Bedeutungsübersicht

zweigliedrig

Beispiele

  • ein binomischer Ausdruck
  • binomischer Lehrsatz (Formel zur Berechnung von Potenzen eines Binoms)

Aussprache

Betonung: binomisch

Grammatik

Starke Beugung

(ohne Artikel)
 SingularPlural
MaskulinumFemininumNeutrumMaskulinum/​Femininum/​Neutrum
ArtikelAdjektivArtikelAdjektivArtikelAdjektivArtikelAdjektiv
Nominativ-binomischer-binomische-binomisches-binomische
Genitiv-binomischen-binomischer-binomischen-binomischer
Dativ-binomischem-binomischer-binomischem-binomischen
Akkusativ-binomischen-binomische-binomisches-binomische

Schwache Beugung

(mit bestimmtem Artikel)
 SingularPlural
MaskulinumFemininumNeutrumMaskulinum/​Femininum/​Neutrum
ArtikelAdjektivArtikelAdjektivArtikelAdjektivArtikelAdjektiv
Nominativderbinomischediebinomischedasbinomischediebinomischen
Genitivdesbinomischenderbinomischendesbinomischenderbinomischen
Dativdembinomischenderbinomischendembinomischendenbinomischen
Akkusativdenbinomischendiebinomischedasbinomischediebinomischen

Gemischte Beugung

(mit ein, kein, Possessivpronomen u. a.)
 SingularPlural
MaskulinumFemininumNeutrumMaskulinum/​Femininum/​Neutrum
Artikel-
wort
AdjektivArtikel-
wort
AdjektivArtikel-
wort
AdjektivArtikel-
wort
Adjektiv
Nominativkeinbinomischerkeinebinomischekeinbinomischeskeinebinomischen
Genitivkeinesbinomischenkeinerbinomischenkeinesbinomischenkeinerbinomischen
Dativkeinembinomischenkeinerbinomischenkeinembinomischenkeinenbinomischen
Akkusativkeinenbinomischenkeinebinomischekeinbinomischeskeinebinomischen

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3 Binomialkoeffizienten, binomische Formeln und binomischer Lehrsatz

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3.1 Theorie

Mit Hilfe des Binomialkoeffizienten kann bestimmt werden, auf wie viel verschiedene Arten Elemente aus einer -elementigen Menge ausgewählt werden können. Dabei ist die Reihenfolge unerheblich und die Elemente dürfen nicht zurückgelegt werden.

Der Binomialkoeffizient wird folgender Maßen berechnet:

.

Der Ausdruck für den Binomialkoeffizienten wird “n über k” gesprochen. Das Symbol "!" wird Fakultät genannt.
Zum Beispiel steht "5!" für . Weiterhin gilt:

Ein bekannte Anwendung wäre zum Beispiel die Ziehung der Lottozahlen ohne Zusatzzahlen, denn es werden 6 Zahlen aus 49 gezogen. Es gibt also entsprechend viele Möglichkeiten:

Tipp: Sollten die Fakultäten zu groß für die Taschenrechnerkapazität sein, so kann man wie im Beispiel Faktoren, die im Nenner und Zähler vorkommen, kürzen.

Der Name Binomialkoeffizient stammt von der Verwendung des Terms als Koeffizienten im binomischen Lehrsatz. Dieser dient zur Berechnung von potenzierten Summen zweier Variablen, bekannt sind vor allem die so genannten binomischen Formeln.

Der binomische Lehrsatz ist definiert durch:

Die benötigten Binomialkoeffizienten können berechnet oder aus dem Pascalschen Dreieck abgelesen werden:

1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
172135352171

Der binomische Lehrsatz liefert auch die bekannten binomischen Formeln:

Die folgenden Videos sollen die theoretischen Erläuterungen unterstützen:

Bruchrechnung 2Bruchrechnung 3
BinomialkoeffizientenBinomische Formeln
Diese Videos sind Bestandteil des Moodle-Projekts innerhalb der HTW Berlin.

3.2 Beispiele

Beispiel 3.2.1

Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten .

Lösung:

Beispiel 3.3.2

Bestimmen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes!

Lösung:

Der folgende Pencast erläutert ausführlich eine weitere Beispielaufgabe:

3.3 Übungen

Die Lösungen zu den hier gestellten Übungen finden Sie im Kapitel "Hinweise und Lösungen zu den Übungen". Zu jeder Übung wird eine Bearbeitungszeit vorgegeben.

Übung 3.3.1

Bitte berechnen Sie den Binomialkoeffizienten . Bearbeitungszeit: 3 Minuten

Übung 3.3.2

Bestimmen Sie eine Formel für mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes. Bearbeitungszeit: 5 Minuten

Übung 3.3.3

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck so weit wie möglich: Bearbeitungszeit: 10 Minuten

Übung 3.3.4

Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich: Bearbeitungszeit: 8 Minuten

Übung 3.3.5

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:

Bearbeitungszeit: 15 Minuten

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